ДЖЕМИЛЕВ Н.И., СЕЙТХАЛИЛОВА З.А.

 

СОЗДАНИЕ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОБЛЕМНЫХ СИТУАЦИЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ “ НАЧАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ ” НА ЗАНЯТИЯХ МАТЕМАТИКИ.

 

Одно из главных методических противоречий, которое необходимо решать в процессе преподавания математики в высшей школе обусловлено постоянным увеличением объема научной информации, которая нужна будущим специалистам для эффективной самостоятельной и познавательной деятельности и узкими рамками учебного процесса.

Одним из способов решения этого противоречия является интенсификация учебного процесса сочетающаяся со стимулированием познавательной активности студентов и выработкой у последних навыков творческого применения знаний и творческой самостоятельности. Следует отметить, что в процессе преподавания дисциплины “математика” учебного плана специальности “Начальное обучение” преподавателю приходится в основном разрабатывать сценарии обучения решению не научных проблем, а учебных, где научный ответ на вопрос известен, а студенты находясь в состоянии психологического затруднения могут его найти с помощью дополнительных действий осуществляемых под руководством преподавателя. При этом в системе “преподаватель - студент” приходится одновременно преодолевать как содержательные, так и познавательно - процессуальные затруднения.

Все это заставило подвергнуть анализу учебный материал выделяя тот, который вызывает наибольшие затруднения при изучении его студентами, отличается высокой степенью новизны, абстрактности, обобщенности. Были намечены и реализованы возможности преднамеренного возникновения и разрешения проблемных ситуаций. Остановим свое внимание на некоторых из них.

В процессе обучения студентами предлагаются задачи различного характера. Одни из них для решения требуют воспроизведения только что изученного, например повторения формулировок теорем, написание формул, и т.д. Такие задачи проверяют состояние памяти и внимания студента. В других задачах используются и закрепляются полученные ранее знания, при этом предполагается, что алгоритм решения задачи студентам знаком. Третьи задачи для своего решения требуют не только воспроизведения известных знаний, а размышления, сравнения, поиска, приобретения и применения новых знаний. Такая ситуация ставит студента в наиболее трудное положение, но и больше других способствует развитию его умственной деятельности, формированию его познавательного интереса, задачи такого типа и являются проблемными. Уровень сложности, характер проблем зависит от подготовки обучаемых, изучаемой темы и других обстоятельств.

Рассмотрим ряд требований, предъявляемых к выдвигаемой проблеме:

1.     Доступность , т.е. проблема должна быть доступна пониманию студентов. Должна быть сформулирована в известных для студентов терминах. Если студенты не поняли проблемы, то дальнейшая работа над ней бесполезна.

2.     Уровень трудности выдвигаемой проблемы. От ее правильной оценки зависит адресность и возможность ее решения. Условие задачи должно заинтересовать обучаемого.

Многие задачи, имеющие глубокое математические содержание, бывают оформлены в виде шуточных, их форма привлекает внимание, вызывает интерес к ним. К таким задачам могут относиться старинные занимательные задачи.

3. Естественность. Немаловажную роль играет естественность в постановке вопроса. Проблемная ситуация должна возникать как часть общей работы и может быть создана несколькими путями:

а) в процессе предварительной постановки практической проблемы.

Преподаватель начинает занятия с беседы о реальной ситуации, из которой следует необходимость привлечения математики для решения задачи. Постановка проблемных познавательных задач, вопросов и заданий, побуждает к поисковой деятельности, в результате которой студенты с помощью преподавателя или вовсе без него самостоятельно находят ответы на поставленные вопросы.

Например, при определении суммы целых неотрицательных чисел, студентам предлагается рассмотреть две задачи:

Задача 1. Петя нашел 3 гриба, а Нина 5. Сколько грибов нашли они вместе?

Задача 2. Даны два множества А = {a, b, с}, В = {a, b, n, p, c}. Найти объединение этих множеств.

Решение обеих задач связано с нахождением объединения двух множеств. Студентам предлагается найти разницу между решением первой и второй задачи. Проанализировав решение каждой из задач, студенты сами приходят к выводу, что в первой задаче рассматривается объединение двух непересекающихся множеств, а во второй задаче двух пересекающихся множеств.

   В первой задаче: A={♣, ♣, ♣},  B={♣, ♣, ♣, ♣, ♣}

n(A)=3         n(B)=5      n(AB)=8.

Во второй задаче:   n(A)=3,  n(B)=5,  AB={a, b, c, m, n, p},    n(AB)=6.

После рассмотрения этих задач, обучающиеся сами могут сформулировать определение суммы целых неотрицательных чисел как объединение двух непересекающихся конечных множеств. Задача для дошкольников переходит в разряд более серьезных задач, если рассмотреть ее с теоретико - множественных позиций. При этом достигается активизация студентов и усиливается их познавательная деятельность.

3.     Предлагая студентам выяснить ошибочность в рассуждении:

 гривны = 25 коп., значит

 гривны = 5 коп.   ( извлекли квадратный корень из обеих частей )

преподаватель подводит студентов к важному выводу о том, что нельзя отождествлять понятие числа и величины, а также к невозможности выполнения некоторых действий над величинами.

При прохождении темы “предикаты и кванторы”, предлагается следующее название: “Подберите предикаты из теоретической математики, которые можно использовать с обоими кванторами " и $.. Можно ли менять местами эти кванторы, т.е. имеет ли место перестановочное свойство для кванторов?” В качестве ответа на вопрос рассмотрим следующие высказывания:

(" a Î N) ($ a1 Î N)    a1>a – истинное

($ a1 Î N) (" a Î N)    a1>a – ложное.

При составлении и анализе этих примеров, студенты самостоятельно могут прийти к выводу о том, что для кванторов перестановочное свойство не имеет места. Предварительная постановка проблемы и ее решение выступает своеобразным тренажером в развитии интеллекта студентов, а знания, полученные таким путем, глубже и прочнее запоминаются.

б) При разборе возможностей использования изученного материала.

После изложения нового материала, уместно не только повторить основные моменты доказательства теорем и формул, но и выяснить, где и как этот материал может быть использован. Например:

б1) после изучения основных элементов векторной алгебры можно показать их применение на доказательстве некоторых важных теорем геометрии и объяснить некоторые свойства геометрических фигур. Например, теорему косинусов, свойства диагоналей прямоугольника, перпендикулярность диагоналей ромба и т.д.; здесь наглядно студент может понять связь геометрии с алгеброй.

б2) показать применение формул сокращенного умножения для быстрого умножения чисел:

51´49=(50+1)(50-1)=2500-1=2499

422 = (40+2)2 = 402 + 2´40´2 + 22 = 1600 + 160 + 4 = 1764

532 – 472 = (53-47)´(53+47) = 6´100 = 600

такая работа приучает студентов критически относиться к изученному, искать связи между изучаемыми фактами и задачами практики. В конечном счете возрастает сознательность отношения к обучению.

в) При поиске средств выполнения решения.

Здесь проблема возникает без видимой подготовки. Студенты занимаются решением вопроса совершенно естественно.

Например, при решении задач по разделу “Комбинаторика”, предлагается определить: “сколькими способами можно выбрать из 15 человек группу людей для выполнения работы, если в группу может входить любое количество людей”. Без особого труда студенты составляют выражение:

С115215 315 +…+ С1515

но при этом многие студенты начинают вычислять число сочетаний, что очень неудобно и громоздко, возникает проблема рационального счета. После наводящих вопросов, студенты приходят к выводу, что эта сумма есть 215-1.

При прохождении делимости чисел, можно предложить задание:

Доказать, что (x3+5x) делится на 6 " х Î N.

Доказать можно методом математической индукции, или представлением х в виде: х=6q+r, где r=1,2,3,4,5. Это занимает много времени. Если представить х + 5х в виде: х3+5х = х3- х+6х=х (х2-1) + 6х=х (х-1)(х+1)+6х, то отсюда видно, что х(х-1)(х+1) делится на 6 всегда как произведение последовательности трех натуральных чисел, а 6х - также делится на 6, следовательно х3 + 5х делится на 6.

При изучении темы: “Декартово произведение множеств” предлагаются задачи типа: “Найти А х В, если известно что А = {1;3;5},      В= {0;2}, с которыми студенты справляются достаточно просто, перечисляя множество всех пар декартового произведения. Далее можно предложить для решения следующую задачу: “Найти А х В, если А = [1;5], В = [0;2]”. После некоторых попыток выполнить это задание, студенты приходят к выводу, что обычным путем задание невыполнимо, т.к. каждое из множеств бесконечно. Возникает проблема: как поступить в этом случае? Сопоставительный анализ между образованием пар декартова произведения ножеств и точками координатной плоскости, определяющимися двумя координатами, подводит к мысли о возможности графического изображения декартова произведения в прямоугольной системе координат.

Направляющая роль преподавателя сказывается в том, что он останавливает длительные бесперспективные поиски, или в случае необходимости подсказывает по какому пути следует идти, однако идея поиска должна исходить от самих студентов.

г) При решении нетиповых задач.

Нередко смешивают трудную задачу с нетиповой. Задача оказывается трудной, если студент недостаточно подготовлен к ее решению (не знает некоторых теорем, формул, не знаком с некоторыми приемами решения). Вместе с тем, для студентов с различной подготовкой оказывается неодинаковой трудность одной и той же задачи.

Проблемную ситуацию создают не трудные задачи, а нетиповые, т.е. задачи логического характера. Многие задачи комбинаторики являются нетиповыми проблемными задачами. Рассмотрим две задачи на делимость чисел:

1) Доказать, что в трехзначном числе разность между этим числом и числом составленным из тех же цифр, но записанных в обратном порядке, делится на 9. Аналогичных задач очень много и все они решаются стандартно:т.е. 99(а-с)  делится на 9.

2) Доказать, что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма цифр делится на 7, то само число делится на 7. Здесь записав число  получаем: 100а + 10b + b = 100a +11b и известно, что а + 2b = 7. Решение этой задачи есть проблема, которую студенты могут решить двумя способами:

1 способ: представим число  в виде: 100а + 10b + b= (100(а + 2b) - 189b), т.к. а + 2b делится на 7 по условию и 189 делится на 7, то и все выражение делится на 7.

2 способ: число 100а + 10b + b можно записать следующим образом:

100а + 11b = (a + 2b) + 99a + 9b= (a + 2b)+98a + 7b = 2(a +2b) + 7(14a + b). Т.к. а +2b = 7 по условию, а  7(14а +b) делится на 7 по свойству делимости произведения, то число  также делится на 7, что и требовалось доказать.

Естественно, работа дает надлежащий эффект, если задачи содержащие проблемные ситуации, рассматриваются на занятиях систематически. В противном случае у обучаемых останется впечатление, что им время от времени просто предлагают задачи повышенной трудности. Сценарий лекционных и практических занятий можно значительно обогатить и разнообразить если в него внести элементы решения проблемных ситуаций. Результаты наблюдений, данные анкетирования свидетельствуют о том, что использование элементов проблемного обучения заметно влияет на повышение качества обучения будущих специалистов и ведет к активизации познавательной деятельности студентов. Однако ошибочно противопоставлять создание проблемных ситуаций методам обучения. Только в сочетании с другими формами работ, создание проблемных ситуаций в обучении дает желаемый эффект.

 

Литература.

 

1)        Матюшкин А.М.   Проблемные ситуации в мышлении и обучении М.1972

2)        Сикорский К.П. Математика 7-8. Факультативный курс. Издательство “Просвещение” Москва 1969 г.

3)        Фейгенберг И.М. Проблемные ситуации и развитие активности личности. М. Знание, 1981 г.