ЕРЕМЕЕВ В. С.

 

 

ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ  КУРСА «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ И ОПТИМИЗАЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТА»

 

 

Роль самостоятельной работы студентов в активизации их познавательной деятельности трудно переоценить. Учебные планы подготовки специалистов в высших учебных заведениях предусматривают использование самостоятельной работы студентов в объёме до 30% и более от их общей нагрузки. В настоящем сообщении рассматриваются методические и организационные вопросы, связанные с изучением специальной дисциплины «Математическое моделирование при планировании и оптимизации эксперимента» на старших курсах педагогических вузов по специальности «Химия и основы информатики».

Математическое моделирование широко используется при  изучении химических процессов на всех стадиях планирования, проведения и обработки эксперимента в производственных условиях, а  также при выполнении научно-исследовательских и лабораторных работ. Поэтому включение соответствующей дисциплины  в учебные планы вполне оправдано. Цель настоящего курса  - изучить методы использования теории полного факторного эксперимента (ПФЭ) и активизировать познавательную деятельность обучаемых с использованием различных форм самостоятельной работы.

Учебный процесс по данному курсу предусматривает три формы обучения: лекции, семинары и самостоятельная работа. Теоретические основы излагаются в обзорных лекциях (6 часов). Закрепление материала осуществляется  на семинарских занятиях (6 часов). Основная нагрузка приходится на самостоятельную работу студентов (24 часа). Она включает выполнение литературного обзора из области химической технологии, выбор объекта исследования, проведение модельных экспериментов, построение математической модели, проверку её адекватности и проведение математико-статистических исследований с целью оптимизации изучаемого процесса. Полученные результаты оформляются в виде расчётно-графической работы. По окончании курса студенты проходят тестирование на ЭВМ и защищают расчётно-графическую работу.

Теоретическая часть курса подготовлена на основе монографии [1] с использованием литературы  по математической статистике [2,3]. Она состоит из трёх разделов, относящихся к построению математической модели в случае ПФЭ, проверке адекватности модели и оптимизации процесса с использованием  метода крутого восхождения Бокса-Уилксона. Обзорные лекции по теоретической части формируют у студентов новые понятия, связанные с планированием, оптимизацией и проведением многофакторных экспериментов в рамках теории ПФЭ. Эта теория, несмотря на её простоту, является достаточно мощным оружием в руках грамотного исследователя. Она позволяет сэкономить материальные и временные ресурсы при определении оптимальных условий для получения нужного качества в многофакторных задачах. Опыт показывает, что вдумчивый экспериментатор, заинтересованный в результатах своего труда, не останавливается на полученных результатах в рамках этой теории. Получивший обнадёживающие данные, он приступает к освоению более сложных в математическом плане моделей, базирующихся на использовании дробных реплик, рототабельных планов и других методов, рассмотрение которых далеко выходит за рамки настоящего курса.

Изучение теории ПФЭ предполагает определённый объём знаний из области математического анализа, аналитической геометрии, высшей алгебры и математической статистики, который, к сожалению,  не обеспечивается при подготовке студентов педагогических вузов по специальностям химии. Указанное обстоятельство следует учитывать при организации учебного процесса по данному курсу. К наиболее трудным вопросам относятся: представление результатов опыта в виде поверхности отклика в многофакторном пространстве, проверка адекватности модели, определение значимости коэффициентов регрессии, отыскание экстремума.

Семинарские занятия закрепляют теоретические знания на примерах, которые взяты из практики химической технологии [4, 5]. Использование конкретного материала в значительной степени облегчает усвоение абстрактных положений математического моделирования. Структура семинарских занятий включает четыре этапа: а) проверку домашнего задания, б) проверку и закрепление теоретических знаний студентов по теме практической работы, в) решение задачи, относящейся к данной теме, с использованием результатов типового эксперимента, г) формулировку домашнего задания по новой теме. В качестве примера рассмотрим рабочий план проведения первого семинарского занятия по теме «Построение математической модели в случае ПФЭ».

Проверка домашнего задания. В домашнем задании требуется изучить теоретический материал в объёме первой лекции и на основании экспериментальных данных  о влиянии времени t и температуры обработки T на прочность образцов из полимерных материалов при испытаниях на растяжение (табл.1) составить матрицу планирования для ПФЭ типа 22.

  Таблица 1.

Результаты эксперимента.

I, номер эксперимента

t,час

Т,К

у1, Мпа

у2, Мпа

1

5

400

9

8

2

5

500

12

13

3

7

400

10

11

4

7

500

14

13

 

Проверка и закрепление теоретических знаний студентов по теме практической работы. Это один из самых сложных этапов семинарского занятия, в процессе которого диагностируется усвоение теоретических положений обучаемых в процессе домашней самостоятельной работы и их готовность к решению задачи, в данном случае – к построению математической модели. На основании результатов тестирования знаний преподаватель принимает решение о направлении дальнейшей работы. Стандартных, шаблонных подходов не существует. Часть студентов достаточно глубоко проработают теоретический материал. Одни из них правильно составят матрицу планирования, другие допустят незначительные погрешности. Это идеальный вариант, на который рассчитывать не приходится. Некоторые из студентов не успели погрузиться в новый для них мир абстрактных понятий, а некоторые и не приступали ещё к занятиям по данной теме. Преподаватель должен  организовать каждого из присутствующих на занятии в нужном направлении с целью освоения и закрепления нового материала с доступной для него скоростью. Индивидуальный подход был и остаётся одним из главных педагогических приёмов, реализация которых в данной ситуации определяет успех обучения.

Форма проверки теоретической подготовки студентов к занятиям определяется преподавателем. Здесь допустимо проведение тестирования, использование технических средств обучения, в том числе компьютерных, перекрёстный опрос, вызов к доске и применение других методов. В круг обсуждаемых вопросов следует включить: понятие факторного пространства, условные обозначения, используемые в теории ПФЭ (N - число независимых экспериментов, k - число факторов, p - число уровней, n - число повторений одного эксперимента), формулы для преобразования значений факторов zi с естественными размерностями (метры, градусы, проценты и другие единицы измерения) в кодированные параметры xi, выбор матрицы планирования, построение математических моделей без учёта взаимодействия факторов линейного вида y = a0 + a1х1 +a2х2+…+akхk и с учётом из взаимодействия.


Решение задачи по теме семинарского занятия.  Формулировка задачи: на основании экспериментальных данных, представленных в табл. 1, найти линейные математические модели. Сама процедура построения модели достаточно проста. Так, вычисление коэффициентов регрессии в случае двух факторов без учёта их взаимодействия  по формулам

 а0 = åyi/N, а1 = åx1i*yi/N, а2 = åx2i*yi/N                                                 (1)

для данных табл. 1 занимает около 5 минут. При этом линейная модель для кодированных переменных без учёта взаимодействия имеет вид:

у = 11.25 + 0.75х1 + 1.75х2                                                                         (2)

На семинаре достаточно построить модель (2), остальные модели, учитывающие взаимодействие факторов или представленные в виде функций от не кодированных факторов, можно перенести на домашнюю проработку. В процессе аудиторных занятий следует обратить внимание на глубинное понимание теоретического материала, обсудить устойчивость коэффициентов регрессии по отношению к измеряемым параметрам, выбору нулевой точки и интервалов варьирования. Подобное обсуждение необходимо для усвоения понятия адекватности модели, являющегося центральным на протяжении всего курса.

 Домашнее задание. Изучить методы проверки адекватности модели и значимости коэффициентов регрессии. В конце семинарского занятия студентам выдаются индивидуальные задания на выполнение и оформление самостоятельной расчётно-графической работы (РГР). На каждом семинаре студентам предлагается выполнить часть РГР, относящуюся к теме  занятия.

Выполнение РГР несёт основную смысловую нагрузку при изучении настоящего курса. Если лекционный раздел создаёт теоретическую базу для математического моделирования процессов, а семинарские занятия закрепляют соответствующие теоретические знания,  то работа над РГР формирует у студента навыки решения сложных задач, находящихся на стыке нескольких наук, в данном случае, математического анализа, математической статистики, теории факторного эксперимента, химической технологии и теории измерений.

Целью РГР является изучение методов планирования и обработки опытных данных на примере исследования конкретного процесса. Студенту предлагается познакомиться с объектом исследования на основании литературных данных и мыслимо изучить влияние нескольких факторов, например, температуры среды и концентрации реагента, на выходной параметр у. Оптимизация эксперимента с использованием теории ПФЭ предусматривает обязательное проведение самого эксперимента. В нашем распоряжении не было такой возможности, поэтому мы обратились к математическому моделированию результатов, получаемых в опытных данных. Пусть, например, формула у= 20 + 0,1z1 + 0,0001z12 +10sinz2  описывает влияние температуры (z1) и концентрации (z2) на скорость выхода водорода в кг/час. Согласно этой формуле при z1 = 1000С, z2 = 0  экспериментальное значение yэксп равно

yэксп = 20 + 0,1*100 + 0,0001 1002 +10sin(0) = 20 + 10 + 1 + 10 * 0 = 31 кг/час.

Аналогичным образом можно определить выход водорода в любой точке, и найденное таким образом значение трактовать как результат эксперимента при заданных значениях времени и температуры.

Выполнение РГР целесообразно проводить  в соответствие со следующим планом:

1.Ознакомление с конкретным объектом исследования и формулировка задачи для оптимизации процесса. Студентам рекомендуется оригинальная литература типа [4,5]. Примеры задач:

Изучалось влияние температуры и времени формирования оптимальной структуры на эластичность бутадиенстирольного каучука …

При исследовании влияния удобрений на морозоустойчивость озимой пшеницы выявлено, что наиболее сильное влияние оказывает суперфосфат и аммонийные удобрения …

Вкусовые качества хлеба грубого помола зависят от содержания в нем добавки ржаной муки и среднего размера частиц помола… и т.д.

В зависимости от выбранной задачи формируется математическая модель, определяющая зависимость выходного параметра y от входных факторов z1,  z2 в виде простых функций. Пример вариантов в случае двухфакторного эксперимента с указанием центральной точки с координатами  z0.1,  z0.2. у = 1,0 z1 + 0,12 z21 – 10sin z2,              z0.1 = 10,   z0.2  = 1.


2. Изучение точности эксперимента.  Для моделирования неточности измерений студенту предлагается вычислить значение функции в нулевой точке с координатами z0.1,  z0.2  с присвоением полученного значения переменной yа. Далее рассчитываются 30 значений по формуле y= yа(1+0.1Random), где Random –генератор случайных чисел от 0 до 1, и по формуле

вычисляется  дисперсия  и среднеквадратичное отклонение. Проверка гипотезы о соответствии данной выборки нормальному закону поводится с использованием критерия Пирсона.

3. Составление матрицы планирования и построение математической модели. Интервалы варьирования DZi входных факторов определяются таким образом, чтобы они находились примерно в пределах 4sэксп  ³  DZi  ³  2sэксп. Далее строится матрица планирования для ПФЭ типа 22, проводятся модельные эксперименты, строится математическая модель, оценивается её адекватность и определяется значимость её коэффициентов  регрессии.

4. Оптимизация процесса методом крутого восхождения Бокса-Уилксона. Восхождение по градиенту производится методом Бокса-Уилксона. Для точек, лежащих вдоль градиента, рассчитываются теоретические значения. Путём сопоставления вычисленных значений с экспериментальными данными выбирается оптимальный режим процесса. В случае необходимости проводятся дополнительные эксперименты.

Литература

1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. Москва: Наука, 1976. 278 с.

2. Гмурман В.Е.  Теория вероятностей и математическая статистика. Москва: Высшая школа, 1972. 368 с.

3. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев: Вища школа, 1988. 483 с.

4. Хромышев В. А. Влияние вибрации на свойства полиэфирного углепластика//Сб. науч. Трудов ХГПУ, Харьков 1999. - Вып. 7. –Ч. 4 – С. 124-128.

5. Хромишев В. А., Хорошилова Т. І., Арестенко В. В., Ментус Л. В. Дослідження реологічних властивостей і структуроутворення в наповнених олігоефірмалеїнатах// Тези допов. ІХ Української конф. з високомолекулярних  сполук, м. Київ. – 2000 р. – С. 114.