КОЛЕСНИК Т. В., ПАНЧЕНКО Л. Л.

 

СПЕЦКУРС “МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ” У СИСТЕМІ ФАХОВОЇ ТА ПРОФЕСІЙНОЇ ПІДГОТОВКИ ВЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ

 

Математичне моделювання явищ, процесів і конструкцій є ефективним засобом теоретичного аналізу задач науки і техніки. Прямий розрахунок на обчислювальних машинах практично є єдиний спосіб розв’язання складних систем нелінійних рівнянь, що описують багато актуальних проблем фізики, хімії, біології тощо. В той же час тільки прямий розрахунок у змозі забезпе­чити ті високі вимоги, які висуває практика до точності результатів теоретич­них досліджень, оскільки одержана в них інформація є основною при проек­туванні складних пристроїв сучасної техніки.

У сучасних умовах найбільш застосовним, особливо до математичного вивчення задач фізики, став метод наукового дослідження, який називають обчислювальним експериментом. Суть цього методу організації теоретич­но­го дослідження складних прикладних проблем полягає в тому, що на основі математичної моделі шляхом безпосереднього чисельного розв’язування від­повідних рівнянь кількісно визначається поведінка досліджуваного об’єкту в тих чи інших умовах. Співставлення результатів розрахунків з наявними да­ни­ми спостережень, натурних експериментів дозволяє оцінити ефективність вихідної математичної моделі і у випадку необхідності модифікувати її з тим, щоб домогтися більшої її адекватності розглядуваному явищу. На основі роз­гляду моделі з’являється можливість прогнозувати поведінку досліджуваного об’єкта в умовах, поки що недосяжних у натурному експерименті, вияснити оптимальні параметри і режими роботи діючих або проектованих конструк­цій. В цьому розумінні створення чисельних методів і програмних комплек­сів для реалізації їх на обчислювальних машинах в певному розумінні рівно­сильне створенню складних експериментальних установок, а діяльність по проведенню розрахунків, обробці та інтерпретації їх результатів можна розглядати як аналог реального фізичного експерименту в лабораторії.

Вочевидь, що при розв’язуванні складних науково-технічних проблем об­числювальний експеримент порівняно з експериментом натурним значно дешевший і доступніший, його підготовка і проведення вимагає менше часу, він дає більш детальну інформацію. Однак альтернативне протиставлення екс­перимента обчислювального і натурного було б неправильним. У сучас­них дослідженнях, які забезпечують науково-технічний прогрес, обидва ці ме­тоди мають право на існування і можуть застосовуватися у розумному поєднанні.

Обчислювальний експеримент носить ітераційний багатоваріантний ха­рактер, оскільки в процесі його проведення уточнюється математична мо­дель, модифікується обчислювальний алгоритм, вдосконалюється організація обчислювального процесу і обробки результатів розрахунку. Саме це приму­шує ставити досить жорсткі вимоги до ефективності та економічності чисель­них алгоритмів, до можливості їх реалізації за мінімальний машинний час із збереженням при цьому достатньої точності результату.

З точки зору програмування обчислювальний експеримент характерний тим, що для кожної моделі необхідно розв’язувати велику кількість варіантів з варіацією визначаючих параметрів задачі і самої математичної моделі. Ця особливість (багатоваріантність і багатомодельність) обчислювального експе­рименту виявляється у багатократних змінах програми, що реалізує алго­ритм, причому ці зміни стосуються як структури програми в цілому, так і окремих її частин. Нова технологія програмування будується на основі мо­дуль­ної (блочної) структури математичної моделі і алгоритма. Їх характерна риса полягає у можливості постійного розвитку, розширення за рахунок включення нових модулей, які реалізують нові можливості.

Спецкурс “Математичне моделювання” призначений для ознайомлення студентів – майбутніх вчителів математики, з основними ідеями математич­ного моделювання та дидактичними реалізаціями цих ідей на матеріалі мате­матичних курсів алгебри, геометрії, математичного аналізу, диференціальних рівнянь, теорії ймовірностей.

Наведемо короткий зміст курсу:

1.          Реальні процеси і моделі.

2.          Моделювання як метод дослідження. Математичні моделі. Обчислю­валь­ний експеримент.

3.          З історії походження основних понять алгебри, геометрії, математичного аналізу, теорії ймовірностей. Математична мова.

4.          Методи дослідження математичних моделей в різних курсах вищої математики.

5.          Функції у природі і техніці.

6.          Чудові криві.

7.          Задачі на максимум і мінімум.

8.          Диференціальні рівняння і математичні моделі.

9.          Побудова математичних моделей та їх дослідження.

10.       Алгоритмічні та евристичні прийоми пошуку розв’язку задач.

Крім теоретичної частини курсу передбачається проведення лаборатор­них робіт по дослідженню математичних моделей, проведенню обчислюваль­них експериментів з використанням персональних комп’ютерів.

Мета спецкурсу:

  виховання правильного наукового світогляду на природу математики;

  інтеграція курсів вищої математики та інформатики;

  формування навичок математичного моделювання.

Рекомендовану літературу для вивчення курсу наведено в кінці статті  (1) – (7).

Загальновідомо, що виховання наукового світогляду неможливе без знан­ня історії науки та розуміння основних етапів її розвитку. Методологія науки з її загальними філософськими питаннями допоможе майбутньому вчи­телю математики поглянути на предмет з більш широких позицій, визна­чити його місце у системі знань, побачити науку у розвитку, русі, замисли­ти­ся про рушійні сили її прогресу і, зокрема, зрозуміти необхідність все біль­шої абстракції математики, що допомагає пізнанню явищ природи і процесів суспільства. Це наблизить до глибокого розуміння того, що одні і ті самі ма­те­матичні поняття і методи застосовні до дослідження найрізноманітніших за своїм конкретним змістом явищ. Математична наука в ході свого історич­ного розвитку накопичила багато фактів, які свідчать про те, що математичні по­няття, операції, способи логічних міркувань зазнають суттєвого впливу прак­тики і мають цілком певне практичне походження. Це стосується і сучасної математики, багато розділів якої формувалися під безпосереднім впливом потреб техніки, економіки, військової справи, державного управління тощо.

Специфічність відображення математикою дійсності визначає основні напрямки виховання правильного наукового світогляду при її викладанні. На відміну від інших природничих наук (фізика, хімія, біологія) математика не пов’язана з дійсністю безпосередньо. Законам матеріального світу у матема­тиці відповідають зв’язки абстрактно-логічного характеру між математич­ни­ми поняттями, а системність світу відображається у такому понятті сучасної математики як математична структура. Розкриття матеріального походження математичних понять разом з тим повинно враховувати той факт, що абстракт­не мислення є для математики таким же невід’ємним, як і зв’язок з дійсністю. Саме високий ступінь абстрактності математичних понять, логічна розробленість математичних теорій і складає силу математики, робить її могутнім знаряддям пізнання і забезпечує широку застосовність. Тому робо­ту по виясненню зв’язку математики з дійсністю необхідно поєднувати з роз’ясненням ролі абстракції і логіки в усякій науці і в математиці, зокрема. Тоді ступінь абстрактного мислення, тобто формалізація логічного дослід­ження розумітиметься як необхідна ланка у науковому пізнанні реальної дійсності.

Не менш важливим у вихованні світогляду молоді є розкриття ролі прак­ти­ки у розвитку математики і показ її практичного, прикладного значення. Вчитель повинен мати значний набір прикладів застосування математики, про які він зможе розказати учням. У зв’язку з цим математичні курси слід будувати так, щоб студенти бачили місце і значення шкільної математики у сучасній науці, правильно розуміли її наукові основи.

Фахова освіта вчителя математики передбачає вивчення цілого ряду ма­тематичних дисциплін таких, як алгебра і теорія чисел, аналітична геометрія, диференціальна геометрія, проективна геометрія, математичний аналіз, комплексний аналіз, диференціальні рівняння, теорія ймовірностей та інші. Запропонований спецкурс передбачає систематизувати та узагальнити знання студентів про предмет і методи кожної з названих навчальних дисциплін, тобто ставиться задача про інтегрування математичних знань, які мають фор­муватися у свідомості майбутнього педагога як результат природного прогре­су людських знань, пов’язаних з розвитком фізики, астрономії, економіки, біології тощо. Вчитель повинен чітко уявляти, як в математиці виникали нові напрямки досліджень, формувалися основні математичні поняття, як і чому абстрактна наука знаходила і знаходить різностороннє застосування в приро­дознавстві, інженерній та агрономічній справах, соціальних дисциплінах. Всі математичні науки  виникли в процесі розв’язування проблем практики і розвивалися у тісній єдності одна з одною, у взаємних впливах та в процесі розв’язання внутрішніх протиріч, притаманних будь-якому процесу розвит­ку. Наведемо деякі приклади. Так, аналітична геометрія, користуючись алгеб­раїчним методом, досліджує геометричні образи лише першого і другого порядку. Збагачення методів дослідження аналітичної геометрії більш силь­ни­ми методами математичного аналізу привело до якісного і кількісного розширення геометричних об’єктів об’єктами вищих степенів та вивчення їх локальної структури (диференціальна геометрія). Разом з тим методи дифе­ренціальної геометрії дозволяють поглянути та зрозуміти з нової точки зору геометричні об’єкти, які вивчалися в аналітичній геометрії. Методи аналі­тичної геометрії знайшли свій подальший розвиток у синтетичному методі проективної геометрії. Важливе значення для розвитку наук шляхом подо­лан­ня внутрішніх протиріч можна проілюструвати, розглядаючи зміну смис­ла основних понять математики протягом історії її розвитку і відображення цього процесу в навчальних курсах на прикладах поняття числа, лінії, функ­ції, простору тощо. Педагогічно доцільним є підкреслення того факту, що для кожного теоретичного результату можна знайти його походження з практич­ної діяльності людей. Щоправда, іноді ланцюг логічних міркувань, які приве­ли до того чи іншого поняття може виявитися занадто довгим. Однак рано чи пізно розкриваються застосування або близькі до практики інтерпретації. Так, початкова історія виникнення комплексних чисел наповнена спробами відшукати їх реальну інтерпретацію і це було вперше зроблено на шляху їх геометричного тлумачення. Але згодом зв’язок комплексних чисел з практи­кою підтвердився численними їх застосуваннями, зокрема, при розв’язуванні задач електротехніки, теорії пружності, аеродинаміки тощо. А, скажімо, не­евклідові геометрії побудовані в результаті логічного аналізу систем ос­нов­­них геометричних висловлювань (означень, аксіом, постулатів). Рима­нові ба­гатовимірні простори стали математичним апаратом для загальної теорії від­носності (релятивістська теорія тяжіння). Багатовимірні, в тому чис­лі і нес­кінченно вимірні, простори знадобилися, наприклад, для моделювання явищ, які відбуваються в системі молекул. Комбінаторні геометрії мають широке застосування в теорії графів, теорії кодування, топології, алгебрі тощо.

Зміст математичних курсів відкриває також широкі можливості для фор­мування навичок математичного моделювання при розв’язуванні прикладних задач. Математичними моделями прийнято називати системи математичних співвідношень, які описують досліджуваний процес або явище за допомогою математичних символів. Для складання математичних моделей використову­ють різноманітні математичні засоби: рівняння (алгебраїчні, трансцендентні, диференціальні, інтегральні), функції, графи, таблиці і схеми, співвідношен­ня математичної логіки, геометричні конструкції тощо. При розв’язуванні кожної прикладної задачі слід чітко виділяти основні етапи: побудова мате­ма­тичної моделі, розробка методу розв’язування одержаної математичної задачі та аналіз результату у відповідності до змісту задачі. При наявності змінних параметрів можливе проведення обчислювального експерименту, який потребує складання обчислювального алгоритму і програми для його реалізації з допомогою персонального комп’ютера.

Правильне уявлення про формування математичних ідей має не тільки загальнофілософське та загальнонаукове значення, воно виключно важливе і для формування методологічних поглядів. Тому математична освіта, особливо майбутнього вчителя математики не повинна обмежуватись тільки сучасним і строгим викладом математичної теорії, а і формувати уявлення про її зв’язок з практикою, про її необмежені можливості у пізнанні оточуючого нас світу.

Дослідження математич­них моделей сприятиме не тільки свідомому засвоєнню математичних знань, а і розумінню місця математики у системі наук та її ролі у пізнанні реальної дійсності. Разом з тим, майбутній вчитель математики познайомиться з одним із ефективних наукових методів сучасної математики – обчислюваль­ним експериментом.

 

Література

 

1.          Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике.– М.: Просвещение, 1978.

2.          Жалдак М. І. Комп’ютер на уроках математики.– К.: Техніка, 1997.

3.          Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Калайда О. Ф. Диференціальні рівняння.– К.: Вища школа, 1981.

4.          Попов Ю. П., Самарский А. А. Вычислительный эксперимент.– М.: Знание, 1983.

5.          Рыбников К. А. Введение в методологию математики.– М.: Изд-во МГУ, 1979.

6.          Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи.– К.: Вища школа, 1984.

7.          Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной математике.– М.: Наука, 1979.